\documentclass{article}
\usepackage{ngerman}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx,fancyhdr}
\usepackage[a4paper]{geometry}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\LaTeX{} Kurs}
\chead{{{\"U}bung 4 Umgebungen}
\rhead{}

\section{L{\"o}sung}

\subsection{Formeln}
Erstellen Sie folgendes:
\begin{itemize}
  \item[a)]{Ein sehr bekannte Gleichung ist $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ die den Zusammenhang
      zwischen den Fl{\"a}chen der Seiten eines rechtwinkelingen Dreiecks beschreibt.}
 \item[b)]{Die folgende sehr bekannte Gleichung beschreibt den Zusammenhang
      zwischen den Fl{\"a}chen der Seiten eines rechtwinkelingen Dreiecks.
 \[ a^{2} + b^{2} = c^{2} \] Hinweis: Benutzten Sie nicht die center--Umgebung!}
  \item[c)]{Was passiert mit der Ausgabe von Teil b) wenn Sie fleqn als Dokumentenklassenoption gesetzt haben?}
\end{itemize}


\subsection{Gleichungen}
Erstellen Sie folgendes:
\begin{eqnarray}
\sin(x)\prime &=& \cos(x) \\
\cos(x)\prime &=& -\sin(x) \\
-\sin(x)\prime &=& -\cos(x) \\
-\cos(x)\prime  &=& \sin(x)
\end{eqnarray} 

Hinweis: \verb+\prime+ $=\prime$\\

\begin{eqnarray*}
\sin(x)\prime &=& \cos(x) \\
\cos(x)\prime &=& -\sin(x) \\
-\sin(x)\prime &=& -\cos(x) \\
-\cos(x)\prime &=& \sin(x)
\end{eqnarray*} 


\begin{eqnarray}
\sin(x)\prime &=& \cos(x) \\
\cos(x)\prime &=& -\sin(x) \nonumber \\
-\sin(x)\prime &=& -\cos(x)\nonumber \\
-\cos(x)\prime  &=& \sin(x)
\end{eqnarray} 

\newpage

\subsection{noch mehr Formeln}
Erstellen Sie folgendes:
\[ \lim_{x \to \  0} \frac{1}{x^{n}} \cdot e^{-\frac{1}{x^{2}}} \]
1. Fall (n gerade):\\
\begin{eqnarray*}
\lim_{x \to \  0} \frac{1}{x^{n}} \cdot e^{-\frac{1}{x^{2}}} &=& \lim_{x \to \  0} \frac{-n \cdot x^{-n-1}}{e^{x^{-2}} \cdot (-2x^{-3})} \\
&=& \lim_{x \to \  0}  \frac{-n \cdot x^{-n+2}}{-2 \cdot e^{x^{-2}}} \\
&\Rightarrow& \lim_{x \to \  0} \frac{\prod_{i=0}^{\frac{n}{2} -1} (-n + 2i)}{(-2)^{\frac{n}{2}} \cdot e^{x^{-2}}} = 0 \\
\end{eqnarray*}
2. Fall (n ungerade): \\
\begin{eqnarray*}
\lim_{x \to \  0} \frac{1}{x^{n}} \cdot e^{-\frac{1}{x^{2}}} &=& \lim_{x \to \  0} x \cdot \frac{1}{x^{n+1}} \cdot e^{-\frac{1}{x^{2}}} = 0 \\
\end{eqnarray*}
\ \\
Hinweis: \verb+\lim+ $= \lim$ und \verb+\cdot+ $= \cdot $\\


\end{document}